.2　复数代数形式的四则运算

3.2.1　复数代数形式的加、减运算及其几何意义

复数的加、减法法则及几何意义与运算律

(1)两个复数的和或差得到的结果是什么？

提示：结果仍然是唯一的复数．

(2)复数的加法法则可以推广吗？

提示：可以推广到多个复数相加的情形．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两个复数的加法不满足结合律．(　　)

(2)复数的加法运算法则只适用于两个复数相加．(　　)

(3)复数与向量一一对应．(　　)

提示：(1)×.复数的加减法满足结合律．

(2)×.可以推广到多个复数相加．

(3)×. 正确说法是：复数z＝a＋bi与平面向量：＝(a，b)一一对应．

2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为(　　)

A.5＋2i    B．－i    C．1    D．1－i

【解析】选C.由题得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋i)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)) ＝3＋i－2－i＝1.

3．若z₁＝2＋i，z₂＝3＋ai(a∈R)，且z₁＋z₂所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)

A.3    B．2    C．1    D．－1

【解析】选D.z₁＋z₂＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.

因为z₁＋z₂所对应的点在实轴上，

所以1＋a＝0.所以a＝－1.

类型一　复数的加减运算(数学运算)

1．已知i为虚数单位，复数z₁＝a＋4i，z₂＝－3＋bi，若它们的和z₁＋z₂为实数，差z₁－z₂为纯虚数，则a，b的值分别为(　　)

A．－3，－4　　　B．－3，4　　　C．3，－4　　　D．3，4

【解析】1.选A.因为z₁＝a＋4i，z₂＝－3＋bi，所以z₁＋z₂＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，解得b＝－4.因为z₁－z₂＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＋3＝0且4－b≠0，解得a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.

2．计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．

【解析】2．(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.

答案：－2－i

3．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________．

【解析】3. 整理(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)得x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，

故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4＝y－1，,x＋y＝3x－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝11.))

答案：6　11

复数加、减运算法则的记忆

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

提醒：注意运算格式及范围，避免出错

在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差．注意中间用“＋”号，如z₁＝a＋bi， z₂＝c＋di， z₁－z₂＝(a－c)＋(b－d)i，而不是z₁－z₂＝(a－c)－(b－d)i(a，b，c，d∈R).

【补偿训练】

 1.已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　　)

A．0    B．6i    C．6    D．6－6i

【解析】选D.因为z＋3i－3＝3－3i，

所以z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.

2．已知复数z₁＝a²－3－i，z₂＝－2a＋a²i，若z₁＋z₂是纯虚数，则实数a＝________．

【解析】由条件知z₁＋z₂＝a²－2a－3＋(a²－1)i，又z₁＋z₂是纯虚数，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a²－2a－3＝0，,a²－1≠0，)) 解得a＝3.

答案：3

类型二　复数加减法的几何意义(数学运算、直观想象)

【典例】1.设向量，，对应的复数分别为z₁，z₂，z₃，那么(　　)

A．z₁＋z₂＋z₃＝0    B．z₁－z₂－z₃＝0

C．z₁－z₂＋z₃＝0    D．z₁＋z₂－z₃＝0

【解析】1.选D.因为＋＝，所以z₁＋z₂＝z₃，即z₁＋z₂－z₃＝0.

2．(2021·桂林高二检测)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1－3i，则向量对应的复数对应的复平面上的点在(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

【解析】2．选C.＝－＝1－3i－2－i＝－1－4i，对应点为(－1，－4)，在第三象限．

利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论

(1)技巧．

①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；

②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

(2)常见结论：在复平面内，z₁，z₂对应的点分别为A，B，z₁＋z₂对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：

①为平行四边形；

②若|z₁＋z₂|＝|z₁－z₂|，则四边形OACB为矩形；

③若|z₁|＝|z₂|，则四边形OACB为菱形；

④若|z₁|＝|z₂|且|z₁＋z₂|＝|z₁－z₂|，则四边形OACB为正方形．

复平面内两点Z₁和Z₂分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量Z₁Z₂对应的复数为(　　)

A．3＋4i    B．5－2i    C．－2＋6i    D．2－6i

【解析】选D.Z₁Z₂＝OZ₂－OZ₁，即终点的复数减去起点的复数，所以(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.

【补偿训练】

 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)

A．2＋4i　　B．－2＋4i　　C．－4＋2i　　D．4－2i

【解析】选D.在平行四边形ABCD中，＝＝－＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i.